设随机变量\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)相互独立,且都服从(0,1)上的均匀分布.
求\(U=\max\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\)数学期望.

令\(x_i \le u \; for \; all \; i = 1,2,\cdots, n\)

分布函数

\(F(u)=P(U \le u)=P(x_1 \le u)\times P(x_2 \le u) \times \cdots P(x_n \le u)\)

因为 \(P(x_i \le u)=u\)

所以 \(F(u)=u^n\)

概率密度为:

\(f(u)=nu^{n-1}\)

然后求[0,1]上的积分，也就是期望(注意u都是(0,1)上面的)：

\[ \int_0^1 {n{u^{n - 1}}udu}=\frac{n}{n+1} \]